Je commencerai par donner une version explicite d'un théorème de Beilinson exprimant la valeur en 2 de la fonction L d'une courbe elliptique en termes d'un régulateur sur une courbe modulaire. Je présenterai ensuite un analogue p-adique de ce résultat, qui repose sur les travaux de Kato et Perrin-Riou concernant les fonctions L p-adiques.

La variété de Steinberg est une variété singulière associée à un groupe algébrique semi-simple. Depuis les travaux de Kazhdan-Lusztig et de Ginzburg, il est connu que la géométrie de cette variété "gouverne" les représentations des groupes de Weyl et des algèbres de Hecke. Plus récemment, cette variété apparait également dans les travaux de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin sur la localisation en caractéristique positive (analogue à la localisation de Beilinson-Bernstein en caractéristique zéro). Dans cet exposé je présenterai des travaux en collaboration avec Bezrukavnikov qui explicitent les liens entre ces différentes approches, et qui permettent d'étudier plus en détail cette géométrie.

Le problème de Mersenne consiste à déterminer les nombres premiers de la forme (2^n) - 1. Ce problème a un analogue dans le cadre de la théorie des courbes elliptiques, dont une version affaiblie consiste à montrer la conjecture de primalité suivante : une suite elliptique à divisibilité a un nombre fini de termes premiers. Après une introduction à la notion de suites elliptiques à   divisibilité, nous verrons les liens entre le théorème de Siegel (sur les points entiers des courbes elliptiques) et la conjecture de primalité. Nous donnerons notamment, à l'aide de la méthode de transcendance, des bornes explicites sur le nombre et l'indice des termes premiers d'une suite elliptique à divisibilité lorsqu'une descente par isogénie est possible.

Dans cet exposé je vous présente les résultats explicites de calcul symbolique des plusieurs séries génératrices dans les algèbres de Hecke locales pour les groupes symplectiques. La première intervenient de la conjecture de Shimura (1963) et la seconde concernée par une version du Lemme de Rankin en genre supérieur. Je formule une conjecture de modularité pour les convolutions des fonctions L spineurs associées aux formes modulaires de Siegel.

Soit X une courbe projective lisse définie sur un corps fini. On lui associe une certaine algèbre de Hopf (algebre de Hall) qui possède de nombreuses propriétés analogues aux groupes quantiques (e.g. existence de bases canoniques). Par exemple, lorsque X est une courbe elliptique, on obtient ainsi l'algèbre de Cherednik (spherique) de GL_\infty. L'algebre de Hall de X, qui est par construction formée de fonctions sur les espaces de modules de fibrés vectoriels sur X, peut aussi s'interpreter dans le cadre du programme de Langlands géométrique.

Introduit il y a 20 ans, l'algorithme de Buchmann-Hafner-McCurley permet le calcul du groupe de classes et du groupe des unités d'un corps de nombres, sous l'hypothèse de Riemann généralisée, heuristiquement en temps sous-exponentiel en le discriminant du corps. De nos jours, les progrès algorithmiques et de la puissance de calcul nous ont permis d'expérimenter avec des corps de nombres de grand degré, ce qui nous a conduit à effectuer plusieurs améliorations à PARI/GP et nous avons pu calculer entre autre le nombre de classes du corps de classes de Hilbert du 23ème corps cyclotomique, de degré 66.

Le groupe fondamental (pro-fini) d'une courbe algébrique, disons sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, est bien connu. Il dépend seulement du genre g de la courbe, et du nombre r de "trous", si r est plus grand que 1, il est libre de rang 2g+r-1. La preuve de ce résultat purement algébrique repose cependant sur des arguments transcendants, en particulier sur des théorèmes de comparaison de type GAGA. Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer ce qu'on sait prouver par des méthodes algébriques.

We survey a range of explicit algebraic constructions of isogenies of Jacobians of curves of genus ≥ 3. This forms part of a program aimed at generalizing, where possible, the work of Vélu for elliptic curves and the well-known Richelot isogeny for abelian surfaces.

Soit C une courbe et X une variété définies sur un corps fini. La version géométrique de la conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de morphismes de C vers X de grand degré. Nous expliquerons comment la théorie de l'anneau total de coordonnée (appelé aussi anneau de Cox) permet de réécrire naturellement la fonction zêta des hauteurs (i.e. la série génératrice associée au problème de comptage précédent) en termes d'une sommation sur le cône effectif dual de X ; puis nous appliquerons ce fait à la démonstration de la conjecture de Manin pour une certaine famille de quadriques intrinsèques (i.e. dont l'anneau total de coordonnées s'identifie à l'anneau de coordonnées d'une quadrique).

Archives

Exposés d'octobre 1997 à juin 2001
Exposés de décembre 2003 à juin 2004
Exposés d'octobre 2004 à juin 2005
Exposés d'octobre 2005 à juin 2006
Exposés d'octobre 2006 à juin 2007
Exposés d'octobre 2007 à juin 2008
Exposés d'octobre 2008 à juin 2009